Zadania dla klasy III gimnazjum		MATEMATYKA W ZESPOLE SZKÓŁ W WIDUCHOWEJ			W matematyce nie ma drogi specjalnie dla królów	Powrót do głównej strony

Ośmiokąty.

Opiszę dwa rodzaje ośmiokątów, którymi się zajmę.

Ośmiokąty foremne

Ośmiokąty, które mają wszystkie kąty wewnętrzne równe oraz boki równoległe mają równej długości, boki leżące obok siebie są różnej długości.

Oba typy ośmiokątów mają miary kątów wewnętrznych równe 1350. Te ośmiokąty będę nazywał odpowiednio ośmiokątem 1 i ośmiokątem 2.

Wiadomo, że jeżeli trójkąt prostokątny równoramienny ma przyprostokątne o długościach równych a, a to przeciwprostokątna ma długość równą Jeżeli natomiast trójkąt ten ma przeciwprostokątną równą a, to przyprostokątne są długości Ta druga informacja pomoże w obliczeniu pola jednego i drugiego ośmiokąta.

Dopełniamy ośmiokąty trójkątami prostokątnymi równoramiennymi (rysunki). Powstają kwadraty.

Kwadraty mają długości boków: dla ośmiokąta 1,   dla ośmiokąta 2.

Pola kwadratów wynoszą odpowiednio:

Pole każdego trójkąta równoramiennego prostokątnego w ośmiokącie I i ośmiokącie II wynosi odpowiednio:

Są 4 takie trójkąty.

Analogicznie

Pole ośmiokąta 1 to różnica pól kwadratu 1 i 4 pól trójkątów. Analogiczna sytuacja jest w ośmiokącie 2. Stąd:

oraz

.

Układając alfabetycznie otrzymamy wzór podany niżej.

Opracował: Mariusz Baszak

Powrót do głównej strony