Na początku w pięciokącie rysuję dwie przekątne AC i AD (rys. 1). Widać, że są one równej długości.
Obliczam kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego , ze wzoru dla  n = 5.

Stąd wiadomo, że zachodzą równości:

Widać, że jest trójkątem równoramiennym. Obliczymy kąt .

Trójkąty oraz są przystające, więc

stąd (razem te 3 kąty tworzą 108⁰)

Rysujemy wszystkie przekątne, łatwo obliczyć, że w pięciokącie jest ich tylko pięć (rys. 2). Jak już wcześniej pisałem wszystkie przekątne pięciokąta foremnego są tej samej długości, ponieważ tylko mogą powstać z połączenia co drugiego wierzchołka.  


RYS.1|RYS.2

Widać, że jest trójkątem równoramiennym, stąd

oraz
,
ponieważ kąty i są kątami przyległymi.
Wiemy, że , stąd



RYS.1|RYS.2

jest trójkątem równoramiennym. Po obliczeniu kątów możemy stwierdzić, że dwa trójkąty oraz mają te same miary kątów 72⁰, 72⁰, 36⁰, stąd są one podobne oraz przypominam, że oba te trójkąty są równoramienne.
Jest jeszcze trzeci trójkąt podobny do tych trzech, mianowicie
, ponieważ

Trójkątem równoramiennym jest również .
Są w nim kąty o miarach 36⁰, 36⁰, 108⁰. Powyższe fakty pozwolą nam na obliczenia. Tworzymy dwa nowe rysunki: rys. 3 i rys. 4.

Przeanalizujemy rys. 3.
  jest równoramienny, więc

(oba są równe a),
oraz jest też równoramienny, więc

(również ich długość jest równa a) (rys. 3).

Wszystkie trzy odcinki oznaczyłem kolorem czerwonym.


RYS.3|RYS.4
Zakładamy, że długość a (długość boku pięciokąta froremnego) jest znana.
jest również trójkątem równoramiennym, stąd
. Długość obu odcinków oznaczyłem  przez x. Oznaczyłem je kolorem zielonym.

Widać, że długość przekątnej pięciokąta foremnego jest równa sumien x + a.
Mając daną wielkość a obliczymy długość x.
Z równości odpowiednich kątów wynika  podobieństwo dwóch trójkątów równoramiennych, które omówiłem wyżej tj.

oraz .

RYS.3|RYS.4
W podstawa to długość przekątnej, czyli x + a, ramiona mają długość a.
W podstawa długość a, ramiona mają długości  x.

Z podobieństwa trójkątów (tutaj równoramiennych), wiemy, że  stosunek długości podstaw będzie równy stosunkowi długości ramion, co oczywiście jest równe skali podobieństwa. Otrzymujemy więc
, ,
Uwaga: Mamy tu do czynienia z tzw. złotym podziałem. Jeżeli popatrzymy na przekątną to stosunek długości całej przekątnej x + a do dłuższej części tej przekątnej a jest równy stosunkowi dłuższej części tej przekątnej a do krótszej części przekątnej x.

Rozwiązujemy otrzymane równanie.


Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, gdzie niewiadomą jest x, natomiast a jest daną liczbą. Przypominam trójmian kwadratowy:
gdzie Obliczamy wyróznik (tzw. deltę).


Obliczamy x₁ oraz x₂.


Widać, że x₁ < 0, natomiast x₂ > 0. Oczywiście wybieramy x₂ . Stąd

Na rys. 5 widać, że aby obliczyć pole pięciokąta należy obliczyć pola trzech równoramiennych trójkątów, w tym dwóch przystających. Musimy jednak dowiedzieć się jaką długość mają wysokości tych trójkątów h₁ oraz h₂.
Obliczymy to z Twierdzenia Pitagorasa.


RYS.3|RYS.4
Podstawą trójkąta jest przekątna równa x + a. Jest to trójkąt równoramienny, stąd do obliczenia h₁wystarczy od a podniesionego do kwadratu odjąćn kwadrat połowy a + x. Obliczymy najpierw ile wynosi połowa a + x, a potem kwadrat tej liczby.





Po drodze wykorzystałem wzory, z których będę jeszcze korzystał. Są to: dodawanie i odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach, wyłączanie czynnika przed nawias, kwadrat iloczynu, kwadrat sumy dwóch wyrażeń.
Obliczam wysokość h₁ z twierdzenia Pitagorasa.




RYS.3|RYS.4

Obliczam pole trójkąta , który jest równy polu .
Przekształcam to co znajduje się pod pierwiastkiem.

To co wyszło podstawiam  z powrotem pod pierwiastek i przekształcam otrzymując pole każdego z w/w trójkątów.




RYS.3|RYS.4

Obliczamy w analogiczny sposób pole trójkąta
(już bez komentarza).



RYS.3|RYS.4
Obliczam